作品介紹
線性代數(shù)
作者：孟昭為 整理日期：2016-03-30 23:30:16
《線性代數(shù)》是根據(jù)高等教育本科線性代數(shù)課程的教學(xué)基本要求編寫而成的.主要內(nèi)容有：n階行列式、矩陣與向量、矩陣的運(yùn)算、線性方程組、相似矩陣與二次型、線性空間與線性變換、矩陣?yán)碚撆c方法的應(yīng)用.書后附有部分習(xí)題參考答案.書末的附錄中選編了2010～2015年全國碩士研究生入學(xué)考試線性代數(shù)的部分試題.
目錄：
第三版前言
第一版前言
第1章n階行列式1
1.1n階行列式的概念1
1.2n階行列式的性質(zhì)10
1.3n階行列式的計(jì)算16
1.4克拉默法則23
習(xí)題128
第2章矩陣與向量34
2.1消元法與矩陣的初等變換34
2.2向量及其線性運(yùn)算40
2.3向量組的線性相關(guān)性43
2.4矩陣的秩53
習(xí)題260
第3章矩陣的運(yùn)算64
3.1矩陣的運(yùn)算64
3.2逆矩陣74
3.3初等矩陣77
3.4分塊矩陣82
習(xí)題389
第4章線性方程組94
4.1線性方程組解的判別94
4.2齊次線性方程組101
4.3非齊次線性方程組105
習(xí)題4110
第5章相似矩陣與二次型115
5.1向量的內(nèi)積與正交向量組115
5.2方陣的特征值與特征向量119
5.3相似矩陣125
5.4實(shí)對稱矩陣的相似對角形130
5.5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形137
5.6正定二次型148
習(xí)題5151
第6章線性空間與線性變換156
6.1線性空間的概念156
6.2基？坐標(biāo)及其變換158
6.3線性變換及其矩陣162
習(xí)題6168
第7章矩陣?yán)碚撆c方法的應(yīng)用171
7.1矩陣方法在微積分中的應(yīng)用171
7.2投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型180
習(xí)題7193
部分習(xí)題參考答案195
附錄全國碩士研究生入學(xué)考試線性代數(shù)試題選208作者介紹暫無文摘第1章n階行列式
行列式是線性代數(shù)中的重要概念之一，在數(shù)學(xué)的許多分支和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.本章主要介紹n階行列式的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法以及利用行列式來求解一類特殊線性方程組的克拉默法則.
1.1n階行列式的概念
行列式的概念起源于用消元法解線性方程組.設(shè)有二元一次方程組
用加減消元法得
當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí)，方程組(1.1)有唯一解
為了進(jìn)一步討論方程組的解與未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，引入下面記號(hào):
并稱之為二階行列式，它表示數(shù)值a11a22-a12a21，即a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.行列式中橫排的叫做行，縱排的叫做列，數(shù)aij(i，j=1，2)稱為行列式的元素，i為行標(biāo)，j為列標(biāo).由上述定義得b1a12
若記
則方程組(1.1)的解可用二階行列式表示為x1=D1D，x2=D2D(D≠0).對于三元一次方程組
如果滿足一定條件，則其解也可通過加減消元法求出，但解的表達(dá)式較為復(fù)雜，難于看出解與系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之間的規(guī)律性聯(lián)系.為尋求這種聯(lián)系，下面引入三階行列式的概念.我們稱記號(hào)
為三階行列式，它由三行三列共9個(gè)元素組成，表示數(shù)值a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33，(1.3)
(1.4)這種方法稱為計(jì)算行列式的對角線法則.例1求下列行列式的值:(1)
cab.解(1)
若記
則容易驗(yàn)證，方程組(1.2)的解可表示為
引入了二階、三階行列式的概念之后，二元、三元線性方程組的解可以很方便地由二階、三階行列式表示出來.那么對于n元線性方程組a11x1+a12x2++a1nxn=b1，
在一定條件下它的解能否有類似的結(jié)論?這里首先要解決的問題是定義n階行列式.為此，我們觀察方程組(1.1)、(1.2)的系數(shù)與對應(yīng)的二階、三階行列式的元素的位置關(guān)系，暫且把記號(hào)
稱為n階行列式(簡記為Δ(aij))，它是由n行n列共n2個(gè)元素組成.在明確(1.6)式的意義之前，我們先來定義n階行列式中元素aij(i，j=1，2，，)的余子式、代數(shù)余子式.
定義1.1.1把n階行列式(1.6)中元素aij所在的第i行和第j列刪去后留下的n-1階行列式稱為元素aij的余子式，記作Mij，即
為元素aij的代數(shù)余子式.例如，對于三階行列式a11a12a13
第一行元素的代數(shù)余子式分別為A11=(-1)1+1a22a23
利用以上結(jié)果可將(1.4)式化簡為a11a12a13
此式表明，三階行列式的值等于它的第一行元素a11，a12，a13與所對應(yīng)的代數(shù)余子式A11，A12，A13乘積的和.這與(1.4)式的定義是一致的，這種用低階行列式定義高一階行列式的方法具有一般意義.按照這一思想我們給出n階行列式(1.6)的歸納法定義.定義1.1.2n階行列式(1.6)是由n2個(gè)元素aij(i，j=1，2，，)所決定的一個(gè)數(shù).當(dāng)n=2時(shí)，定義a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.假設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，則定義n階行列式a11a12a1n
其中A1j(j=1，2，，)是n階行列式中元素a1j(j=1，2，，)的代數(shù)余子式.顯然，對任意自然數(shù)n，由此歸納定義可求n階行列式的值.特別地，當(dāng)n=1時(shí)，行列式a11=a11，不能與數(shù)的絕對值相混淆.
例2求下列行列式的值：
這個(gè)行列式稱為下三角行列式，它的特點(diǎn)是當(dāng)i＜j時(shí)aij=0(i，j=1，2，，n).
解由行列式的定義，得
D=a11A11+0A12++0A1n，
A11是一個(gè)n-1階下三角行列式，由定義A11=a22a3300
依次類推，不難求出D=a11a22ann，
即下三角行列式等于主對角線上的諸元素的乘積.作為下三角行列式的特例，主對角行列式λ
證由行列式的定義D=(-1)1+na1n00a2n-1
特別地，次對角行列式序言暫無 | |
